01.
Si los complejos:
Z1
= a + 2i y Z2 = (2a – 1) +
(3 b + 2) i
Son
conjugados. Hallar el valor de
(a2
+ b2)
Solución
Dado
que son complejos conjugados; sus partes reales son iguales, es decir:
a
= 2 a – 1 ® a
= 1
De
otro lado, sus partes imaginarias, solo se diferencian en el signo:
2
= - (3 b + 2) ® 4 = - 3b
\ b = -4/3
Reemplazando en :
E = a2 + b2 ® E = (1)2 + (
)2
\ E = 25/9 Rpta. D
01. Cuál es el
valor de : b c + c - b si los complejos:
Z1 = ( b – 3) – (c + 2) i
y
Z2 = 6 –( b – 1) i
Son opuestos
Solución:
Como los números complejos
son opuestos, estos se diferencian en el signo, tanto para la parte real, como
para la parte imaginaria, es decir:
a) b – 3 = - 6 ® b = -3
02. Calcular (a
+ b), si
a – bi = (2 – 3 i)2
Solución
Desarrollando el segundo miembro de la igualdad por productos
notables.
a – b i = 4 – 12 i + 9 i2
dado que: i2 = -1 ; entonces:
a – bi = -5 - 12 i Þ
\ (a + b) = -
5 + 12 = 7 Rpta.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Forma Geométrica
o Cartesiana.- Todo número complejo
de la forma :
Z = a + bi
se puede representan en el plano cartesiano. Debe tenerse en cuenta que:
Esto
quiere decir que en el eje de las abscisas, tenemos: “a” unidades reales y en
el eje de las ordenadas, tenemos “b”
unidades imaginarias.
En
efecto; la gráfica de:
COORDENADAS CARTESIANAS
Coana
Afijo
de un complejo.- Es un punto
del plano complejo, el cual está determinado por un par ordenado (a, b)
a
= Re (z) : nos representa la parte real
b
= Im (z) : nos representa la parte
imaginaria
Forma
Polar.- Este sistema determina el afijo
de un número complejo mediante dos coordenadas
polares, una de las coordenadas es el radio vector “r” que es la
distancia del afijo (r, q) al polo y la otra
coordenada es el argumento “q”, llamado también ángulo
polar, que está determinado por el eje polar y el radio vector, como muestra la
gráfica adjunta.
COORDENADAS POLARES
RELACIÓN
ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y LAS COORDENADAS POLARES
Haciendo coincidir el polo del eje polar con el
origen de coordenadas, obtenemos la gráfica del complejo.
Para hacer las transformaciones entre coordenadas,
consideramos:
I.- Transformación de la forma cartesiana a la
forma polar.
Dato : Z = a + b i
Incog: Z =
r . q = r (cos q + i sen q)
En el plano Gaussiano por Pitágoras:
Y en el DR OAB, observamos
que:
Con referencia al plano Gaussiano
“a” es la proyección de “r” sobre el eje de las abscisas:
a = r cos q
“b” es la
proyección de “r” sobre el eje de las ordenadas
b = r sen q
Ejemplo # 1: Representar el complejo
Z = -1 + i
en la forma polar
Solución:
Representando
z = -1 + i en el plano complejo:
EJERCICIOS PROPUESTOS
OTRAS FORMAS DE
REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO COMPLETOEl
número complejo z = a + bi se puede representar en las siguientes formas:
1. Forma
Cartesiana
Z
= a + b i
2. Forma
trigonométrica
Z
= r cos q + i r sen q
3. Forma polar
Z = r q = r
(cos q + i sen q)
4. Forma exponencial
Z = r e i q = r (cos q + i sen q )
5. Forma sintética
Z
= r Cis (q) = r (cos q + i sen q )
Considerar
que para todas las formas:
r=:módulo del complejo
q = arc tg 
: Argumento del complejo.
OPERACIONES
CON NÚMEROS COMPLEJOS
1.
SUMA ALGEBRAICA.- Para sumar o
restar complejos, se suman o restan las partes reales y las partes imaginarias
entre sí. En efecto:
Si; Z1 = a + b i y Z2
= c + d i
Entonces:
a) Z1 + Z2
= a + bi + c + d i
Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d) i
b) Z1 - Z2
= a + b i – ( c + d i )
Z1
- Z2 = (a – c) + ( b – d ) i
1.
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS.
a) En la forma
cartesiana se procede como si fuera el
producto de dos binomios; es decir:
Si; Z1 = a +
bi y
Z2 = c + d i
Þ Z1
Z2 = (a + b i ) (c + d i )
Z1 Z2 = ( ac – bd ) +
( ad + bc) i
b) En la forma polar; primero se hace la transformación de la forma
cartesiana a polar; es decir, dados:
Observaciones:
1.
El módulo
del producto es igual al producto de los módulos de los factores:
2.
El argumento
del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.
1.
DIVISIÓN DE COMPLEJOS.-
a) En la forma
cartesiana; para dividir dos complejos, se multiplica y divide por la conjugada del divisor. Es decir:
OBSERVACIONES
1. El modulo del
cociente, es igual al cociente de los módulos del dividendo y divisor.
2. El argumento
del cociente, es igual a la diferencia del argumento del dividendo y divisor.
1.
POTENCIACIÓN DE UN COMPLEJO.- Para el
caso de la potencia de un complejo se puede utilizar el binomio de Newton o la fórmula de DE MOIVRE, la cual veremos a
continuación:
Dado;
z = a + b i ; al transformar a polar se
obtiene:
OBSERVACIONES
1.
El módulo de
la potencia es igual al módulo de la base a la potencia deseada.
2.
El argumento
de la potencia es igual al argumento de la base por el exponente de la
potencia.
1. RADICACIÓN
DE UN COMPLEJO.- Para extraer la raíz de un complejo se utiliza la
fórmula de DE MOIVRE.
RAÍCES
CÚBICAS DE LA UNIDAD
X3= - cos 60º + i sen 60º
