División algebraica por el método de Horner

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       Método Horner División Polinomios - Ejercicios Resueltos

Para dividir dos polinomios por el método de Horner, primeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y otra horizontal. Encima de la recta horizontal y la derecha  de la vertical  se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. A la izquierda de la recta vertical  se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo y debajo de la horizontal se colocan el resto de coeficientes del divisor con signo cambiado.

En el vídeo que se muestra a continuación se explica el método con varios ejemplos resueltos.

Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini,  se ponen los coeficientes de dividendo-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

EJEMPLO 2: (El dividendo A no tiene término independiente)

A = -4x⁴ + 30x + x⁵
B = x - 3

A : B = (-4x⁴ + x⁵ + 30x)  :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x⁵ - 4x⁴ + 0x³ + 0x² + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3

                     

Cociente =  x⁴ - x³ - 3x² - 9x + 3

Resto: 9

PRODUCTO DE MATRICES

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Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

A_{m x n} x B_{n x p} = C_{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

 1  Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

 2  Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

 3  Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

 4  No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Planteo de ecuaciones

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PLANTEO DE ECUACIONES

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Plantean una ecuación es la traducción de un problema del lenguaje materno al lenguaje matemático. 

Problema 1.- ¿Qué día y hora del mes de abril se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año? (El año es bisiesto).

Solución:

Debe entenderse que:

                                     Días  Transcurridas

1.    Fracción del Mes :--------------------------

De Abril                         30 días

                                     Días transcurridas

2.    Fracción del año: ---------------------------

366 días

Analizando:

i.       Para el mes de Abril

Supongamos que hace transcurrido “x” días, entonces su fracción será:

x/30

Como el día tiene 24 horas è x= 8 días y 3 horas. Han transcurrido 8 días, más 3 horas.

  

El día pedido será el 9 de Abril a las 3 a.m.     Rpta.

Problema 2.- Un padre tiene 32 años y su hijo 5 ¿Al cabo de cuántos años, la edad del padre será diez veces mayor que la de su hijo?

Solución:

Sea “x” la cantidad de años que se necesitan para que se cumpla la condición:

Luego el padre tendrá : 32 +x

y el hijo: 5 + x

\ Se cumple :

32 + x = 10 (5+x)

Resolviendo :

32 + x = 50+10x

-18 = 9x para   x = -2

El signo menos indica que la condición se cumplió:

 

Hace dos años :    Rpta.

Problema 3.-  Dispongo de 800 soles y gasto los 3/5 de lo que no gasto ¿Cuánto no gasto?.

 Solución:

De acuerdo al enunciado

No gasto : x

Gasto     : 800 – x

De donde la ecuación resultante es:

800 – x =3/5. x

4000 - 3x 5x = a x = 500

\ No gasto 500 soles     Rpta.

Problema 4.- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque creando el número de horas arrancadas excede en 8 a los 4/47 del número de hojas que quedan?

Solución:

Sea “x” el número de hojas arrancadas.

Entonces:

(365 – x) es el número de hojas que faltan por arrancar.

Luego la ecuación resultante es:

     x -  (4/47) x(365 – x) = 8

de donde :     x = 36         

Como enero tiene 31 días, quiere decir que se han arrancado 5 hojas del mes de febrero por consiguiente, el día del año que marca el almanaque es el 6 de febrero.   Rpta.

PROBLEMAS DE REPASO

01.    Determinar “k” en la ecuación de segundo grado:

(k - 2) x ² - 2k x + 9 = 0

sabiendo que sus raíces son iguales.

Solución

Dado que las raíces son iguales, el discriminante vale cero, es decir:

D = 0 ® b² – 4 ac = 0

Remplazando:

(-2 k) ² - 4 (k - 2) 9 = 0

K4 ² - 4 (9k - 18) = 0

Simplificando:

a ² - 9 ir el + 18 = 0

Factorizando:

                                         a = 6

(k - 6) (k - 3) = 0 Þ            ó

                                        k = 3

02.    La suma de tres números pares consecutivos es 66.  Hallar el menor de los números .

Solución:

De acuerdo a los datos:

El  # menor               : x

El # del medio    : x + 2

El # mayor        : x + 4

Por consiguiente la ecuación resultante es:

x + x + 2 + x + 4 = 66

3 x = 60

x = 20      Rpta.

03.    Un padre tiene 30  años y su hijo 3.

Dentro de cuantos años la edad del padre es  el cuádruple de la de su hijo.

Solución:

Actualmente :

Edad del padre     : 30

Edad del hijo        : 3

Dentro de “x” años

Edad del padre     : 30 + x

Edad del hijo        : 3 + x

Ecuación resultante:

30 + x = 4 (3 + x)

Resolviendo:

30 + x = 12 + 4 x

    18 = 3 x

      de donde:

            x = 6 años

\ Dentro de 6 años la edad del padre será el cuádruple de la de su hijo.  Rpta.

EJERCICIOS 

1.     Un individuo va en un tren que lleva una velocidad de 30 km/hr. y ve pasar en 3 segundos otro tren que marcha en sentido contrario; sabiendo que el segundo tren tiene una longitud de 60 mts, su velocidad es:

a)    de 35 km / h b) 38 km / hr

c) 40 km / hr d) 42 km / h.

e) 44 kilometros / hr

2.     La cantidad que debe restarse a los dos términos de la fracción  (a/b) para que llegue a ser igual a su cuadrado es:

3.    Calcular en que instante del viernes, la fracción de día transcurrido  es igual a la fracción transcurrida de la semana.

a) 14:00 b) 15:00 c) 16:00

d) 8 p.m.    e) 9 p.m.

    

4.    Guillermo tiene hoy cuatro veces los años que tenía Walter cuando el tenía 13 años; Walter tiene hoy 22 años.  Hallar la edad de Guillermo.

      a) 25  b) 26  c) 27   d) 28 e) 29

5.    Un niño robó flores en un jardín, y después de andar 80 pasos empezó a perseguirle el jardinero.  El niño da cuatro pasos mientras que el jardinero da tres; pero cinco pasos de éste equivalen a siete de aquel.  El número de pasos que dio el jardinero para alcanzar al niño y el número de estos que dio el niño mientras duró la persecución, fueron respectivamente:

a)   600 y 800 pasos  

b)   900 y 1200 pasos

c)   1200 y 1600 pasos

d)   1500 y 2000 pasos

e)   1800 y 2400 pasos