CANTIDADES IMAGINARIAS NUMEROS COMPLEJOS

CANTIDADES IMAGINARIAS

Las cantidades imaginarias se originan al extraer raíces indicadas de índice par a números negativos.

Ejm: 

Son cantidades imaginarias.

Unidad Imaginaria.-  Está representada por la letra i, el cual matemáticamente nos representa a SQ(-1); es decir:

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Vemos que las potencies de la unidad imaginaria, se repiten en período de 4 en 4  y cuyos valores son {i ; -1; - i; 1 }

POTENCIAS POSITIVAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Siendo; 4K: múltiplo de cuatro vemos que:

a)   i^4k = 1

b)   i^{4k + 1}  = i^4k _· i   =  i

c)   i^{4k + 2}  = i^4k _· i² = -1

d)   i^{4k + 3}  = i^4k _· i³ = - i

Regla.- La unidad imaginaria elevado a un exponente múltiplo de cuatro; su resultado es igual a la unidad.

POTENCIAS NEGATIVAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Siendo; 4k: múltiplo de cuatro se observa que:

a)   i ^–4k = 1

b)   i ^{- (4 k – 1)} = i ^{– 4 k} _· i =   i           

c)   i ^{- (4 k – 2)} = i ^{– 4 k} _· i² = -1         

d)   i ^{- (4 k – 3)} = i ^{– 4 k} _· i³ = - i         

Regla.-  Cuando “i” está elevada a una potencia negativa, si el exponente es múltiplo de cuatro, el resultado es igual a la unidad.

Es importante recordar lo siguiente:

Desde que: 4k = múltiplo de 4

1.     (4k) ⁿ = 4k

2.     (4k + 1)ⁿ = 4k + 1 ; (n = par o impar)

3.     (4k + 2)ⁿ = 4k    ; (para n ³ 2)

4.     (4k + 3)ⁿ = 4k + 1 ; (para n ³ 2)

EJERCICIOS RESUELTOS

01.    Hallar:     i ²⁶

Solución:

Recordemos que un número es múltiplo de cuatro, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de cuatro, es decir:

00,  04,  08,  12,  16,  20,  24,  28

32,  36,  40,  44,  48,  52,  56,  60

64,  68,  72,  76,  80,  84,  88, 92

96.

De donde:

i²⁶ = i²⁴⁺² = i² = -1       (Rpta.)

01.    Determinar : i²⁶⁴²³⁹

Solución:

Considerando las dos últimas cifra, vemos que:

i²⁶⁴²³⁹ = i ³⁹  =   i ^{36+ 3}  = i ³ = - i

02.    Calcular: E = i ^–793

Solución:

Observando solo las dos últimas cifras:

i^-793 = i^-93 = i^{-96 + 3}     = i ³ = - i

03.    Hallar : E = i^-2937722649

Solución:

Observando solo las dos últimas cifras:

i^-793 = i^-93 = i^{-96 + 3}     = i ³ = - i

EJERCICIOS PROPUESTOS

NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son expresiones matemáticas formadas por una parte real y una parte imaginaria.  El complejo se representa por:

         Z = a + b  i

Donde i; es la unidad de los números imaginarios y se tiene que:

Parte real              : Re  { Z } = a

Parte imaginaria    : I_m  { Z } = b

Esto nos indica que el complejo Z está formado por “a” unidades reales y “b” unidades imaginarias.

Con respecto al número  complejo.

Z = a + b i

a) Si;   a =  0      ®  Z  = bi  (# imaginario puro)

b) Si;   b =  0      ®  Z  =  a   (#  real)

c) Si;   a = 0 Ù b = 0 ®  Z  = 0  (Complejo nulo)

CLASES DE COMPLEJOS

A.   Complejos conjugados.-  Dos números complejos son conjugados cuando tienen igual parte real y en la parte imaginaria solo se diferencian en el signo.

Así tenemos;   El complejo de:

a) Z₁ =   7 – 2 i      es:    Z₂ =  7 + 2 i

b) Z₁ = - 5 – 3 i     es:    Z₂ = -5 + 3 i

c) Z₁ =   8 – SQ(-4)    es:    Z₂ =  8 + SQ(-25) 

En general, el complejo de:

                                  Z₁ = a + b i     es :    Z₂ = a – b i

a. Complejo Iguales.-  Dos números complejos son iguales, si tienen igual parte real e igual parte imaginaria.  Es decir:

Z₁ = a + b i   es igual a   Z₂ = c + d i

                                      Û      a  =  c    Ù    b   =  d

A. Complejos Nulos.-  Son aquellos números complejos que tienen parte real nula y parte imaginaria nula, es decir:

                                   Z = a + bi = 0 Û a = 0 Ù b = 0

B.  Complejos opuestos.- Son aquellos números complejos que se diferencian solo en los signos, tanto para la parte real, como para la parte imaginaria, es decir:

Z₁ = a + b i  es opuesto a   Z₂ = c + d i

                                    Û      a  =  - c    Ù    b   = - d

Z₁ = a + b i  es opuesto a   Z₂ = c + d i

                                    Û      a  =  - c    Ù    b   = - d

EJERCICIOS RESUELTOS

01.       Si los complejos:

Z₁ = a + 2i   y Z₂ = (2a – 1) + (3 b + 2) i

Son conjugados. Hallar el valor de

(a² + b²)

Solución

Dado que son complejos conjugados; sus partes reales son iguales, es decir:

a = 2 a – 1       ®          a  = 1

De otro lado, sus partes imaginarias, solo se diferencian en el signo:

2 = - (3 b + 2)  ®  4 = - 3b

\  b = -4/3

Reemplazando en :

E = a² + b² ® E = (1)² + ()²

\  E = 25/9     Rpta. D

01.    Cuál es el valor de : b ^c + c ^{- b} si los complejos:

Z₁ = ( b – 3) – (c + 2) i

y

Z₂ = 6 –( b – 1) i

Son opuestos

Solución:

Como los números complejos son opuestos, estos se diferencian en el signo, tanto para la parte real, como para la parte imaginaria, es decir:

a) b – 3 = - 6  ®    b = -3

b) – (c + 2) = b – 1 ®  - c – 2 = - 3 – 1

                                     c  = 2

\ b^c  + c ^{– b} = (-3)² + (2)³ = 17

            b^c  + c ^{– b} = 17     Rpta.

02.    Calcular (a + b), si

a – bi  = (2 – 3 i)²

Solución

Desarrollando el segundo miembro de la igualdad por productos notables.

a – b i = 4 – 12 i + 9 i²

dado que: i² = -1 ; entonces:

a – bi = -5  - 12 i        Þ     

   \ (a + b) = - 5 + 12 = 7       Rpta.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Forma Geométrica o Cartesiana.-  Todo número complejo de la forma :

Z = a + bi se puede representan en el plano cartesiano. Debe tenerse en cuenta que:

Esto quiere decir que en el eje de las abscisas, tenemos: “a” unidades reales y en el eje de las ordenadas, tenemos “b”  unidades imaginarias.

En efecto; la gráfica de:

COORDENADAS  CARTESIANAS

Coana

Afijo de un complejo.-  Es un punto del plano complejo, el cual está determinado por un par ordenado (a, b)

a = Re (z) : nos representa la parte real

b = Im (z) : nos representa la parte

                  imaginaria

Forma Polar.-  Este sistema determina el afijo de un número complejo mediante dos coordenadas  polares, una de las coordenadas es el radio vector “r” que es la distancia del afijo (r, q) al polo y la otra coordenada es el argumento “q”, llamado también ángulo polar, que está determinado por el eje polar y el radio vector, como muestra la gráfica adjunta.

COORDENADAS  POLARES

RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y LAS COORDENADAS POLARES

Haciendo coincidir el polo del eje polar con el origen de coordenadas, obtenemos la gráfica del complejo.

Para hacer las transformaciones entre coordenadas, consideramos:

I.-  Transformación de la forma cartesiana a la forma polar.

      Dato : Z = a + b i

      Incog: Z = r .  q   = r (cos q + i sen q)

En el plano Gaussiano por Pitágoras:

Y en  el DR OAB, observamos que:

Con referencia al plano Gaussiano 

 “a” es la proyección de “r” sobre el eje de las abscisas:

                   a = r cos q

“b” es la proyección de “r” sobre el eje de las ordenadas

                   b = r sen q

Ejemplo # 1: Representar el complejo

Z = -1 + i en la forma polar

Solución:

y (Im)

Representando  z = -1 + i en el plano complejo:

EJERCICIOS PROPUESTOS

OTRAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO COMPLETOEl número complejo z = a + bi se puede representar en las siguientes formas:

1.    Forma Cartesiana

Z = a + b i

2.    Forma trigonométrica

Z = r cos q + i r sen q

3.    Forma polar

Z = r   q    = r  (cos q + i sen q)

4.    Forma exponencial

Z = r e ^{i q}  = r (cos q + i sen q )

5.    Forma sintética

Z = r  Cis (q) = r (cos q + i sen q )

Considerar que para todas las formas:

r=:módulo del complejo

q = arc tg : Argumento del complejo.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

1.   SUMA ALGEBRAICA.- Para sumar o restar complejos, se suman o restan las partes reales y las partes imaginarias entre sí.  En efecto:

Si;  Z₁ = a + b i   y    Z₂ = c + d i

Entonces:

a)    Z₁ + Z₂ = a + bi + c + d i

Z₁ + Z₂ = (a + c) + (b + d) i

b)   Z₁ - Z₂ = a + b i  – ( c + d i )

Z₁ - Z₂ = (a – c) + ( b – d ) i

1.    MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS.

a) En la  forma cartesiana  se procede como si fuera el producto de dos binomios; es decir:

Si; Z₁ = a + bi     y  Z₂ = c + d i

Þ Z₁ Z₂ = (a + b i ) (c + d i )

    Z₁ Z₂ = ( ac – bd ) + ( ad + bc) i

b)  En la forma polar;  primero se hace la transformación de la forma cartesiana a  polar; es decir, dados:

Observaciones:

1.     El módulo del producto es igual al producto de los módulos de los factores:

2.     El argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.

1.    DIVISIÓN DE COMPLEJOS.-

a)     En la forma cartesiana; para dividir dos complejos, se multiplica y divide  por la conjugada del divisor.  Es decir:

OBSERVACIONES

1.     El  modulo del cociente, es igual al cociente de los módulos del dividendo y divisor.

2.     El  argumento del cociente, es igual a la diferencia del argumento del dividendo y divisor.

1.    POTENCIACIÓN DE UN COMPLEJO.- Para el caso de la potencia de un complejo se puede utilizar el binomio de Newton  o la fórmula de DE MOIVRE, la cual veremos a continuación:

Dado; z = a + b i ;  al transformar a polar se obtiene:

OBSERVACIONES

1.  El módulo de la potencia es igual al módulo de la base a la potencia deseada.

2.  El argumento de la potencia es igual al argumento de la base por el exponente de la potencia.

1.   RADICACIÓN DE UN COMPLEJO.- Para extraer la raíz de un complejo se utiliza la fórmula de DE MOIVRE.

RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD

     X₃= - cos 60º + i sen 60º

       X_{3 =-1/2, (SQ(3))/2}

PROPIEDADES DE LA RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD

1.    Una de las raíces complejas de la raíz cúbica de la unidad es el cuadrado de la otra.

2.    La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es igual a cero

3.    El producto de las raíces compleja de la raíz cúbica de la unidad es igual a 1