productos notables

MATEMÁTICAFÁCILprofepucllas.

PRODUCTOS NOTABLES

Los Productos Notables son multiplicaciones algebraicas, que destacan debido a que se expresan mediante identidades (fórmulas).

      1.   Binomio al cuadrado:

             (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

             (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

      2.   Binomio al cubo:

             (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

             (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

     

     3.   Diferencia de cuadrados:

             (a + b)(a -b) = a2 - b2

PROBLEMAS RESUELTOS

1.   Reducir: (x + 4)2 + (x - 4)2

      Resolución:

      desarrollando cada uno de los binomios:

x2 + 2x(4) + 42 + x2 - 2x(4) + 42

x2 + 8x + 16 + x2 - 8x + 16

      reduciendo términos semejantes:

2x2 + 32

7. Si:  a + b = 4

             ab = 2

hallar: a3 + b3

      Resolución:

      recordando:  (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

      a + b = 4 (elevando al cubo)

      (a + b)3 = 43; desarrollando:

      a3 + b3 + 3ab(a + b) = 43

      a3 + b3 + 3(2)(4) = 64

       a3 + b3 + 24 = 64

         = a3 + b3 = 40

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.   Indicar el coeficiente de "x"" al efectuar:

 (2x + 3)3

      a)   8                       b)   12                     c)   36

      d)   17                    e)   20

2.   Reducir:

 (x + 2)3 - 2(4x2 + 6x) + 2x2

    

      a)   6x2                   b)   x3 + 12x           c)   x3 - 8

      d)   12x + 8            e)   x3 + 8

3. Simplificar el valor de la expresión:

 (n + 1)3 + (n - 1)3

      a)   2(n3 - 3n)        b)   2(n3 + 3n)        c)   2(n - 3n3) 

      d)   2(n + 3n3)       e)   0

4. Reducir:

 (x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) + 4(x + 1)

     

  

5.   Si:

      •     a + b = 7

      •     a . b = 10; hallar: a2 + b2

FORMULAS ADICIONALES

Si consideramos el desarrollo de estos productos notables:

                   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

                    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Podemos realizar lo siguiente:

SUMA

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

DIFERENCIA

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

      A estos dos últimos resultados se les denomina IDENTIDADES DE LEGENDRE.

Formulario

1.   Identidades de Legendre

      •     (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

      •     (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

2.   Término común (Identidad de Stevin)

      (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab