MONOMIOS, POLINOMIOS, GRADOS
NOTACIÓN DE POLINOMIOS
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 1ER GRADO
MONOMIOS – POLINOMIOS - GRADOS
INTRODUCCIÓN.- La unidad fundamental de la estructura algebraica es
el “término algebraico”
TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es el conjunto de letras y números ligados por
las operaciones matemáticas de multiplicación, división, potenciación y
radicación en un número limitado de veces.
Ejemplos:
a)
2x3
y2 d) x y2 z1/3
f) -x + 6
f) -x + 6
b) (4/3)Xy3 e) –6 ab2 x y z6
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO
Globalmente está constituido por una parte numérica y una
parte literal, como se muestra a continuación:
Es muy importante
presentar a los términos algebraicos bajo una notación de forma que nos permita
diferenciar las constantes de las variables.
Ejemplo: Para el término algebraico de notación T
(x,y) se observa que:
Debemos tener en cuenta:
a)
T (x,y).- Es la notación que nos indica que las únicas variables
son las letras “x” e “y”.
b)
Signo.- Indica si el
término es mayor o menor que cero.
c)
Coeficiente.- Es la cantidad
que afecta a la parte literal; en el caso de que el coeficiente sea un número
entero y positivo, nos indica el número de veces que se repite la parte literal
como sumando.
Ejemplo:
(6 veces)
b)
3x
y z = x y
z + x y z + x y z
(3 veces)
1 a = a (a se suma 1 vez)
2 a = a + a (a
se suma 2 veces)
3 a = a + a + a (a
se suma 3 veces)
na = a + a + a
+.... +
a (a se suma n veces)
n veces
De la propiedad de
simetría
a + a + a +.... + a = na n Î z+
n
veces
a + a + a +.... + a = na n Î z+
d)
Exponente.- Es el número que se
escribe en la parte superior derecha de una “base”; si el exponente es un
número entero y positivo nos indica el número de veces que se está
multiplicando la base
Ejemplos:
5 veces
b)
(x3)4 = x3
· x3
· x3
· x3
4 veces
Con referencia a la siguiente secuencia:
a1
= a (a se multiplica 1 vez)
a2
= a
·
a (a
se multiplica 2 veces)
2 veces
a3
= a · a · a (a se multiplica 3 veces)
3 veces
an = a · a · a ·.... · a (a se multiplica n veces)
n veces
Por la propiedad de simetría:
a · a · a ·…... · a
= an n Î Z+
n veces
Ejemplos:
60 veces
n2
b)
6 · 6 · 6 .......6 = 6
n2
veces
29 veces
d)
z · z · z
,,,,,,,,,,,z = z n-2
(n – 2) veces
MONOMIO
Es
la expresión algebraica racional entera que consta de un solo término, en el
cual los exponentes de sus variables son cantidades enteras no negativas. Ejm:
a) M
(x, y) = -2 x7 y3
b) R
(x, y) =–6 x9 y5 z6
GRADOS DE
UN MONOMIO
a) Grado absoluto
(G.A.).- Está determinado por la suma de los
exponentes de sus variables.
Ejemplo:
Respecto
a los monomios
a) M(x,y) = - 9 x4 y6 ® G.A.
= 4 + 6 = 10
b) R(x,y) = - 6 x4 y6
z3 ® G.A.
= 4 + 6 = 10
b) Grado Relativo
(G.R.).- Con respecto a una de sus variables, es el
exponente que tiene dicha variable, es decir:
Respecto al monomio:
M (x, y) = - 5 x6 y4 z8
Vemos que:
G.R. (x) = 6
G.R. (z)
= 8
EJERCICIOS
Ejercicio
1.- Dado
el monomio
M (x, y)
= (((x3 y2)3
x2 y)2 x y2)2
Hallar
su grado absoluto
Simplificando,
obtenemos:
M (x, y)
= x ((3x 3 + 2) 2 + 1) 2 y32
M (x, y)
= x46 y32, de donde
G.A. = 46 + 32 = 78 Rpta.
Ejercicio 2.- Hallar el valor de “n” en el monomio
POLINOMIO
Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos, en el cual
los exponentes de sus variables son números enteros no negativos. Son ejemplos de polinomios:
a)
P(x) = 2x – 3 (binomio)
b)
Q(x) = x3 + x2 y + y2 (trinomio)
c)
P(x,y) = x2 + 2x y + 3y2 (trinomio)
GRADOS DE UN POLINOMIO
a) Grado absoluto
(G.A.).- Está determinado por el mayor grado
absoluto que tiene uno de sus términos.
Ejemplo:
Dado
el polinomio:
P (x,y) = x6
y4 - 2 x7 y8
+ x6 y16
10º 13º 22º
Vemos que: G.A. =22
b) Grado Relativo
(G.R.).- Con respecto a una de sus variables
es el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio dado.
Ejemplo:
Dado
el polinomio:
P(x,y) = x6 y3 – 2x9 y7
– x4 y8
G.R.(x) = 9
G.R.(y) = 8
EJERCICIOS
01.-
Dado el polinomio
P (x , y) = 5 x n – 4 y n-3 + x n-6 y n-2
Hallar “n” si su grado absoluto es 9
Solución
P (x , y) = 5 x
n – 4 y n - 3 + x n - 6
y n - 2
(2n – 7) (2n-8)
Por consiguiente:
2n – 7 = 9
n
= 8 Rpta.
02.- Si los términos del polinomio
P (x, y, z) = x m + n + y3n
+ z m + 2
Tienen el mismo grado. Hallar mn
Solución
Para este caso, se cumple que:
m + n = 3 n = m + 2
con lo cual:
de : m + n =
m + 2 ® n = 2
de : m +
n = 3 n
m
+ 2 = 6 ® m = 4
\ mn
= 42 = 16 Rpta.
P (x , y) = 5 x
n – 4 y n - 3 + x n - 6
y n - 2
(2n – 7) (2n-8)
Por consiguiente:
2n – 7 = 9
n
= 8 Rpta.
02.- Si los términos del polinomio
P (x, y, z) = x m + n + y3n
+ z m + 2
Tienen el mismo grado. Hallar mn
Solución
Para este caso, se cumple que:
m + n = 3 n = m + 2
con lo cual:
de : m + n =
m + 2 ® n = 2
de : m +
n = 3 n
m
+ 2 = 6 ® m = 4
\ mn
= 42 = 16 Rpta.
P (x , y) = 5 x
n – 4 y n - 3 + x n - 6
y n - 2
(2n – 7) (2n-8)
Por consiguiente:
2n – 7 = 9
n
= 8 Rpta.
02.- Si los términos del polinomio
P (x, y, z) = x m + n + y3n
+ z m + 2
Tienen el mismo grado. Hallar mn
Solución
Para este caso, se cumple que:
m + n = 3 n = m + 2
con lo cual:
de : m + n =
m + 2 ® n = 2
de : m +
n = 3 n
m
+ 2 = 6 ® m = 4
\ mn
= 42 = 16 Rpta.
CLASIFICACIÓN DE
LOS POLINOMIOS
Polinomio
Ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a una
letra llamada ordenatriz, si sus exponentes aumentan (ascendentes);
ó disminuyen (descendentes).
Ejemplo:
a)
P(x) = 7 - x3 + 2 x 6 – x15 (ascendente)
b)
P(x) = x 9 – 2 x 7 – x 3 - 1 (descendente)
Polinomio
Completo: Un polinomio es completo con respecto a una letra
llamada ordenatriz si sus potencias aumentan o disminuyen desde el mayor
exponente hasta el exponente cero en forma consecutiva
a)
P(x) = 2x4 + x3 + 6x2 – 7x – 6 (D)
b)
P(x)= -5 + 2x – 3x2 + x3
(A)
c) P (x,y) = 3x2
– 5 xy + 3 y2 (D) y (A)
Descendente respecto
a “x”
Ascendente respeto a “y”
Propiedades
1.
El
número de términos es igual al grado
absoluto más uno
Polinomio
Homogéneo: Este polinomio se caracteriza por que todos
sus términos tienen el mismo grado absoluto.
Ejm: Para el Polinomio:
P(x,y) = x 9
+ 2 x 4 y 5 + y 9
9º 9º 9º
G.A. =
9º
Polinomio
Entero “x”: En este
polinomio sus exponentes son enteros y positivos
a) P(x) = -5 x + 7
b) P(x) = 2x2 – 3x – 2
Polinomios
Idénticos: Estos polinomios se
caracterizan por que los coeficientes de sus términos semejantes en ambos
miembros son iguales, en efecto:
Si:
a x2 + b x + c º d x2+ ex + f
POR COMPARACION
Se cumple que:
a = d
b = e
c = f
Polinomios Idénticamente Nulos: Estos polinomios se caracterizan por que sus
coeficientes valen cero:
Ejemplo: dado
P(x) = a x2 + b x + c º 0
Se cumple que:
a
= 0
b = 0
c = 0
02.-
Si el polinomio:
P (x) = (a– 2) x2
+ (b + 3) x + 9 x2 – 5 x
Es nulo, hallar (a + b)
Solución
Si el polinomio es
nulo, cada coeficiente vale cero, es decir:
P (x) = (a – 2
+9) x2 + (b + 3 – 5) x º 0
0 0
1º) a – 2
+ 9 = 0 ® a = -7
2º) b + 3
- 5 = 0 ® b = 2
\ a + b = -7 + 2 = – 5 Rpta.
03.-
Dado el polinomio homogéneo
P(x, y) = xa+b-1 y b
– xy6 - 3y2a + 3b - 6
Determine:
E = (ab + ba – ab)2
Solución
Por ser homogéneo, se cumple:
a + b – 1 +
b =
1 + 6 = 2a + 3b – 6
( I ) ( II ) ( III )
De (I) y (II), se obtiene:
a + 2 b = 8
De (II) y (III)
2 a + 3b = 13
Resolviendo el sistema:
2
a + 3b = 13 .......... (2)
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